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图——基本的图算法（四）关键路径

关键路径的算法是建立在拓扑排序的基础之上的，这个算法中用到了拓扑排序，所以在这里先以拓扑排序开篇。

1． 什么是拓扑排序？

举个例子先：一个软件专业的学生学习一系列的课程，其中一些课程必须再学完它的基础的先修课程才能开始。如：在《程序设计基础》和《离散数学》学完之前就不能开始学习《数据结构》。这些先决条件定义了课程之间的领先(优先)关系。这个关系可以用有向图更清楚地表示。图中顶点表示课程，有向边表示先决条件。若课程i是课程j的先决条件，则图中有弧(i,j)。若要对这个图中的顶点所表示的课程进行拓扑排序的话，那么排序后得到的序列，必须是按照先后关系进行排序，具有领先关系的课程必然排在以它为基础的课程之前，若上例中的《程序设计基础》和《离散数学》必须排在《数据结构》之前。进行了拓扑排序之后的序列，称之为拓扑序列。2． 如何实现拓扑排序？ 很简单，两个步骤： 1． 在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出。 2． 从图中删除该顶点和以它为尾的弧。 重复上述两步，直至全部顶点均已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况则说明有向图中存在环。3． 什么是关键路径？ 在学习关键路径前，先了解一个AOV网和AOE网的概念： 用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图： 称为顶点表示活动的网（Activity On Vertex Network），简称为AOV网。 与AOV网对应的是AOE（Activity On Edge）网即边表示活动的网。 AOE网是一个带权的有向无环图。 网中只有一个入度为零的点（称为源点）和一个出度为零的点（称为汇点）。 其中，顶点表示事件（Event），弧表示活动，权表示活动持续的时间。 通常，AOE网可用来估算工程的完成时间。 假如汽车生产工厂要制造一辆汽车，制造过程的大概事件和活动时间如上图AOE网： 我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。 那么，显然对上图AOE网而言,所谓关键路径： 开始–>发动机完成–>部件集中到位–>组装完成。路径长度为5.5。 如果我们试图缩短整个工期，去改进轮子的生产效率，哪怕改动0.1也是无益的。 只有缩短关键路径上的关键活动时间才可以减少整个工期的长度。 例如如果制造发动机缩短为2.5天，整车组装缩短为1.5天，那么关键路径为4.5。 工期也就整整缩短了一天时间。 好吧！ 那么研究这个关键路径意义何在？ 假定上图AOE网中弧的权值单位为小时，而且我们已经知道黑深色的那一条为关键路径。 假定现在上午一点，对于外壳完成事件而言，为了不影响工期： 外壳完成活动最早也就是一点开始动工，最晚在两点必须要开始动工。 最大权值3表示所有活动必须在三小时之后完成，而外壳完成只需要2个小时。 所以，这个中间的空闲时间有一个小时，为了不影响整个工期，它必须最迟两点动工。 那么才可以保证3点时与发动机完成活动同时竣工，为后续的活动做好准备。 对AOE网有待研究的问题是： （1）完成整个工程至少需要多少时间？ （2）那些活动是影响工程进度的关键？ 今天研究是实例如下图所示： 假想是一个有11项活动的AOE网，其中有9个事件(V1,V2,V3…V9)。 每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。 如V1表示整个工程开始，V9表示整个共结束，V5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以开始。关键路径算法 为了更好的理解算法，我们先需要定义如下几个参数： （1）事件的最早发生时间etv(earliest time of vertex): 即顶点Vk的最早发生时间。 （2）事件的最晚发生时间ltv(latest time of vertex): 即顶点Vk的最晚发生时间。也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间将会延误整个工期。 （3）活动的最早开工时间ete(earliest time of edge): 即弧ak的最早发生时间。 （4）活动的最晚开工时间lte(latest time of edge): 即弧ak的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。 然后根据最早开工时间ete[k]和最晚开工时间lte[k]相等判断ak是否是关键路径。 将AOE网转化为邻接表结构如下图所示：求事件 的最早发生时间etv的过程，就是我们从头至尾找拓扑序列的过程，因此，在求关键路径之前，需要先调用一次拓扑序列算法来计算etv和拓扑序列列表。为此我们首先在程序开始处声明几个全局变量。

int  *etv,*ltv;//事件最早发生时间和最迟发生时间数组

int  *stack2;//用于存储拓扑序列的栈

int   top2; //用于stack2的指针

//下面是改进过的求拓扑序列算法

status  TopologicalSort(GraphAdjList   GL)

{

      EdgeNode   *e;

      int   i,k,gettop;

      int   top=0;    //用于栈指针下标

      int    count=0;   //用于统计输出顶点的个数

      int     *stack;  //创栈将入度为0的顶点入栈

     stack=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));

     for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)

          if(0==GL->adjList[i].in) stack[++top]=i;

      top2=0;

     etv=(int  *)malloc(GL-numVertexes*sizeof(int)); //事件最早发生时间

      for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)

        etv[i] = 0;

     stack2=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));

    while(top!=0)

    {

        gettop = stack[top--];

       count++;

       stack2[++top2] = gettop; //将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈

        for(e=GL->adjList[gettop].firstedge;e;e=e->next)

        {

                k=e->adjvex;

               if(!(--GL->adjList[k].in))

                       stack[++top]=k;

             if((etv[gettop]+e->weight)>etv[k])

                        etv[k]=etv[gettop]+e->weight;

         }

    }

        if(count<GL->numVertexes)

            return ERROR;

        else

            return OK;

}

 

第11~15行为初始化全局变量etv数组、top2和stack2的过程。第21行就是将本是要输出的拓扑序列压入全局栈stack2中。第27~28行很关键，它是求etv数组的每一个元素的值。比如说，假如我们已经求得顶点v0对应的etv[0]=0，顶点v1对应的etv[1]=3，顶点v2对应的etv[2]=4，现在我们需要求顶点v3对应的etv[3]，其实就是求etv[1]+len（v1,v3）与etv[2]+len（v2,v3）的较大值。显然3+5<4+8，得到etv[3]=12。如图所示，在代码中e->weight就是当前弧的长度。

下面我们来看一下求关键路径的算法代码

下面我们来看一下求关键路径的算法代码

void CriticalPath(GraphAdjList GL)

{

        EdgeNode   *e;         int   i,gettop,k,j;         int ete,lte;        TopologicalSort(GL);   //求拓扑序列，计算数组etv和stack2的值        ltv=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));//事件最晚发生时间        for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)                    ltv[i] =etv[GL->numVertexes-1];//初始化ltv        while(top2!=0)        {                  gettop = stack2[top2-1];                  for(e=GL->adjList[gettop].firstedge;e;e=e->next)                  {//求各顶点事件的最迟发生时间ltv值                        k=e->adjvex;                       if(ltv[k]-e->weight<ltv[gettop])//各点事件最晚发生时间                            ltv[gettop] =ltv[k]-e->weight;                  }                   for(j=0;j<GL->numVertexes;j++)                  {                          for(e=GL->adjList[j].firstedge;e;e=e->next)                          {                                 k=e->adjvex;                                 ete = etv[j];                                 lte =ltv[k]-e->weight;                                 if(ete==lte)                                    printf(“<v%d,v%d>length:%d,”,GL->adjList[j].data,GL->adjList[k].data,e->weight);                           }                   }         } }  

 

1. 基本概念

（1）AOV网（Activity On Vertex Network）

AOV网是一个表示工程的有向图中，其中的顶点用来表示活动，弧则用来表示活动之间的优先关系。举个简单的例子，假定起床后可以边煮水，边刷牙洗脸，但洗脸要在刷牙后，煮好水，刷好牙洗好脸以后，就可以喝水了，这个活动的AOV图如下（其中的每个顶点都表示一个活动，而顶点之间的弧表示了活动之间的执行先后顺序）：

（2）AOE网（ Activity On Edge Network）

AOE网是一个表示工程的带权有向图，其中的顶点用来表示某个事件，弧用来表示活动，弧上的权值用来表示活动持续的时间。例如上述例子的AOE网如下：

（3）AOE网和AOV网的区别

AOV网：其顶点用来表示活动。AOE网是用来表示活动之间的制约关系。 AOE网：顶点表示事件，边表示活动，边上的权值用来表示活动持续的时间。AOV网是用来分析工程至少需要花多少时间完成，或是为了缩短时间需要加快哪些活动等问题。

（4）源点、汇点、路径长度

在AOE网中，始点或源点：入度为0的顶点，它表示一个工程的开始；终点或汇点：出度为0的顶点，它表示一个工程的结束；路径长度：路径上各个活动所持续的时间之和。

（5）关键路径、关键活动

在AOE网中，从源点到汇点具有最大长度的路径称为关键路径，在关键路径上的活动称为关键活动。

2. 关键路径算法

2.1 基本思想

（1）要找出一个AOE网中的关键路径，就要先找出网里的关键活动，这些关键活动间的路径就是关键路径。

（2）判断一个活动是不是关键活动，方法是要先找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且对它们进行比较，如果二者相等（意味着这个活动在该工程中没有时间松动），说明这个活动是关键活动。

（3）对于活动<Vi, Vj>，它最早的开始时间等于事件Vi最早的发生时间earlist[Vi]（事件v的最早发生时间用earlist[v]）。假设E[Vi]表示所有到达顶点Vi的弧的集合，len<Vi, Vj>表示活动<Vi, Vj>的持续时间，那么：

注意，这里假设顶点下标从0开始，所以Vi==0，则表示它是源点，因此最早的开始时间为0；当某个顶点不是源点，那么只有在它前面的事件都发生完后，才能轮到这个事件，所以用了max。

（4）对于活动<Vi, Vj>，它最晚的开始时间等于事件Vj最晚的发生时间减去这个活动的持续事件，即latest[Vj]-len<Vi, Vj>（事件v的最晚的发生时间用latest[v])。假设S[Vj]表示所有从顶点Vj出发的弧的集合，len<Vj, Vk>表示活动<Vj, Vk>的持续时间，那么：

2.2 算法实现

（1）数据结构

typedef struct EdgeListNode{ //边表结点    int adjId;    int weight;    EdgeListNode* next;};typedef struct VertexListNode{ //顶点表结点    int in; //入度    int data;    EdgeListNode* firstadj; //指向其边表};typedef struct GraphAdjList{ //图结构    int vertexnumber; //顶点个数    int edgenumber;    VertexListNode vertextlist[Maximum];};

（2）具体实现

1）由基本思路可以知道，要求一个AOE网的关键路径，步骤如下： A. 首先初始化每个顶点的最早开始为0，然后对AOE网进行拓扑排序，在排序的过程中获取每个顶点的最早开始时间； B. 获取拓扑排序后，初始化每个顶点的最晚开始时间为汇点的最早开始时间，并从AOE网的汇点开始，从后往前，对每个顶点找到求其最晚开始时间； C. 遍历图中的每条边（方法是遍历图中每个顶点的边表），求其最早开始时间和最晚开始时间，如果二者相等，则这是个关键活动，将其加入关键路径中。

2）代码

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
     
    
   

（3）测试

int main() {    GraphAdjList g;    EdgeListNode *e;    int i, j, k;    g.vertexnumber = 5;    g.edgenumber = 7;    for(i=1; i<=g.vertexnumber; i++) {        g.vertextlist[i].data = i;        g.vertextlist[i].firstadj = NULL;    }    g.vertextlist[1].in = 0;    g.vertextlist[2].in = 1;    g.vertextlist[3].in = 2;    g.vertextlist[4].in = 2;    g.vertextlist[5].in = 1;    e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));    e->adjId = 2; e->weight = 2; e->next = g.vertextlist[1].firstadj; g.vertextlist[1].firstadj = e;    e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));    e->adjId = 4; e->weight = 1; e->next = g.vertextlist[1].firstadj; g.vertextlist[1].firstadj = e;    e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));    e->adjId = 5; e->weight = 1; e->next = g.vertextlist[1].firstadj; g.vertextlist[1].firstadj = e;    e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));    e->adjId = 3; e->weight = 3; e->next = g.vertextlist[2].firstadj; g.vertextlist[2].firstadj = e;    e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));    e->adjId = 4; e->weight = 5; e->next = g.vertextlist[2].firstadj; g.vertextlist[2].firstadj = e;    e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));    e->adjId = 3; e->weight = 8; e->next = g.vertextlist[4].firstadj; g.vertextlist[4].firstadj = e;    e = (EdgeListNode*)malloc(sizeof(EdgeListNode));    e->adjId = 3; e->weight = 1; e->next = g.vertextlist[5].firstadj; g.vertextlist[5].firstadj = e;    vector
   
    ans;    ans = CriticalPath(g);    for(i=0; i
    
     "<
     
      <